Công thức Nhị thức Newton đầy đủ

By Admin 06/04/2024 0

Công thức giải Toán 11

VnDoc.com van lơn trình làng cho tới chúng ta học viên tư liệu Công thức Nhị thức Newton Toán 11. Sở tư liệu tổ hợp các công thức khai triển Nhị thức Newton, tam giác Pascal và những bài xích tập luyện ví dụ minh họa được đặt theo hướng dẫn cụ thể giúp đỡ bạn gọi gia tăng và nâng lên kỹ năng Giải Tích 11... Mời chúng ta nằm trong xem thêm cụ thể nội dung bài viết sau đây. Chúc chúng ta ôn tập luyện hiệu quả!

Bạn đang xem: Công thức Nhị thức Newton đầy đủ

Bản quyền thuộc sở hữu VnDoc.
Nghiêm cấm từng mẫu mã sao chép nhằm mục đích mục tiêu thương nghiệp.

I. Công thức Nhị thức Newton cơ phiên bản và nâng cao

1. Tổ thích hợp là gì?

Định nghĩa: Giả sử tập luyện A cơ n thành phần. Mỗi tập luyện con cái bao gồm k thành phần của A được gọi là một trong những tổng hợp chập k của n thành phần tiếp tục mang đến.

Kí hiệu: C_{n}^{k} là số tổng hợp chập k của n thành phần \left( 0\le k\le n \right). Ta sở hữu quyết định lí, số những tổng hợp chập k của n thành phần tiếp tục mang đến.

C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\frac{\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)\left( n-3 \right)...\left( n-k+1 \right)}{k!}

- Tính hóa học chập k của n phần tử: C_{n}^{k}

2. Công thức Nhị thức Newton

a. Định lí: Với \forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} với cặp số \left( a,b \right)ta có:

{{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}}{{b}^{k}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+C_{n}^{1}{{a}^{n-1}}b+C_{n}^{2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+C_{n}^{n-1}{{a}^{1}}{{b}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{b}^{n}}

b. Hệ quả

Hệ quả: {{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}

- Từ hệ trái ngược bên trên tớ rút được những sản phẩm sau đây:

{{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}

C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+C_{n}^{2}-C_{n}^{3}+...+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}=0

c. Nhận xét

Trong khai triển Newton {{\left( a+b \right)}^{n}} sở hữu đặc điểm sau:

- Gồm n + một phần tử.

- Số nón của a hạn chế kể từ n cho tới 0 và số nón của b tăng kể từ 0 cho tới n.

- Tổng số nón của a và b trong những số hạng bởi vì n .

- Các thông số sở hữu tính đối xứng C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right).

- Số hạng tổng quát: {{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{b-k}}{{b}^{k}}

Chú ý:

3. Các công thức tương quan cho tới khai triển nhị thức Newton

4. Một số công thức thông thường người sử dụng trong những bài xích tập

5. Công thức Newton banh rộng

6. Dấu hiệu dùng nhị thức Newton

a. Chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức nhưng mà có: \sum\limits_{i=1}^{n}{C_{n}^{1}}

b. Biểu thức sở hữu \sum\limits_{i=1}^{n}{i\left( i-1 \right)C_{n}^{i}} thì người sử dụng đạo hàm

c. Biểu thức sở hữu \sum\limits_{i=1}^{n}{\left( i+k \right)C_{n}^{i}} thì tớ nhân nhì vế với {{x}^{k}} rồi lấy đạo hàm

d. Biểu thức sở hữu \sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}^{k}}.C_{n}^{i}} thì tớ lựa chọn độ quý hiếm x=a mến hợp

e. Biểu thức sở hữu \sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i-1}.C_{n}^{i}} tớ lấy tích phân xác lập bên trên \left[ a,b \right] mến hợp

7. Tam giác Pascal

n=0                                            1

n=1                                   1              1

n=2                         1                2                1

n=3             1                   3              3                 1

n=4  1                   4                6                4                1

Tam giác Pascal được thiết lập bám theo quy luật

- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp bám theo là sản phẩm loại nhất ghi nhì số 1

- Nếu biết sản phẩm loại n thì sản phẩm loại n + 1 tiếp theo sau được thiết lập bằng phương pháp nằm trong nhì số thường xuyên của sản phẩm loại n rồi ghi chép sản phẩm xuống sản phẩm bên dưới ở địa điểm thân thiện nhì số này. Sau cơ ghi chép số 1 ở đầu và cuối sản phẩm.

II. Bài tập luyện ví dụ minh họa về nhị thức Newton

Ví dụ 1: Viết khai triển bám theo công thức nhị thức Newton:

a. {{\left( a+2b \right)}^{5}}
b. {{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}
c. {{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}

Hướng dẫn giải

a. Khai triển Newton của {{\left( a+2b \right)}^{5}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{\left( 2b \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{.2}^{k}}.{{b}^{k}}}

{{\left( a+2b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}2b+...+C_{5}^{5}32{{b}^{5}}

Xem thêm: Cấu trúc It was not until | Công thức và bài tập cơ bản

b. Khai triển Newton của {{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{a}^{6-k}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{k}}}

{{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}.\sqrt{2}+C_{6}^{2}{{a}^{4}}.2+...+C_{6}^{6}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}

c. Khai triển Newton của {{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{10-2k}}}}

Ví dụ 2: Tìm thông số của {{x}^{7}} vô khai triển biểu thức {{\left( 1-2x \right)}^{10}}

Hướng dẫn giải

Ta có: f\left( x \right)={{\left( 1-2x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{.1}^{10-k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}

Số hạng chứa chấp {{x}^{7}} vô khai triển ứng với k = 7. Khi cơ thông số của số hạng chứa chấp {{x}^{7}}: C_{10}^{7}.{{\left( -2 \right)}^{7}}=-15360

Ví dụ 3: Tìm thông số ko chứa chấp x vô khai triển sau: {{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{n}}biết rằng: C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,x>0

Hướng dẫn giải

Ta có: C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,n>2

\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(n-n+1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( n-2+2 \right)!}=78

\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( 2 \right)!}=78

\Leftrightarrow n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} n=12\left( TM \right) \\ n=-13\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.

Do cơ biểu thức khai triển là {{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{12-k}}{{\left( -\frac{2}{x} \right)}^{k}}}

=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-3k}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-4k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}

Số hạng ko chứa chấp x ứng với k: 36-4k=0\Leftrightarrow k=9

Số hạng ko chẳng x là: C_{12}^{9}.{{\left( -2 \right)}^{9}}=-112640

Ví dụ 4: Xét khai triển: {{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}

a. Viết số hạng loại k + 1 trong các khai triển.

b. Số hạng này vô khai triển ko chứa chấp x.

c. Xác quyết định thông số của \[{{x}^{4}}\]trong khai triển.

Hướng dẫn giải

{{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2x \right)}^{20-k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}{{x}^{20-2k}}}

Số hạng ko chứa chấp x vô khai triển ứng với k là: 20-2k=0\Leftrightarrow k=10

Số hạng ko chứa chấp x vô khai triển là: C_{20}^{10}{{.2}^{10}}

Số hạng chứa chấp {{x}^{4}} vô khai triển ứng với k là: 20-2k=4\Leftrightarrow k=8

Vậy số hạng chứa chấp {{x}^{4}} vô khai triển sở hữu thông số là: C_{20}^{8}{{.2}^{12}}

Ví dụ 5: Tính tổng: S=\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}c_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}-\frac{1}{8}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{2\left( n+1 \right)}C_{n}^{n}

Hướng dẫn giải

Ta có: S=\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}c_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{3}-\frac{1}{4}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{n+1}C_{n}^{n} \right)

Vì \frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n+1}^{k+1}

\Leftrightarrow S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}-C_{n+1}^{0}} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}

III. Bài tập luyện tự động luyện

Bài 1: Viết khai triển bám theo công thức nhị thức Newton:

a. {{\left( 1+2x \right)}^{20}}

b.{{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}

c. {{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}

d. {{\left( n+2m \right)}^{7}}

Bài 2: Xét khai triển {{\left( 3{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{30}}

a. Tìm số hạng ko chứa chấp x vô khai triển.

b. Hệ số của số hạng chứa chấp {{x}^{6}} vô khai triển.

c. Số hạng loại 11 vô khai triển.

Bài 3: Tính tổng: S=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+C_{2n}^{6}+...+C_{2n}^{2n}

Bài 4: Tổng những thông số nhị thức Newton vô khai triển {{\left( 1+x \right)}^{3n}} là 64. Số hạng ko chứa chấp x vô khai triển {{\left( 2nx+\frac{1}{2nx} \right)}^{2n}}.

Bài 5: Tìm số nguyên vẹn dương bé nhỏ nhất n sao mang đến vô khai triển {{\left( 1+x \right)}^{n}} sở hữu nhì thông số thường xuyên sở hữu tỉ số là 7:15.

Xem thêm: CuO + CH3OH → Cu + HCHO + H2O | CuO ra Cu | CH3OH ra HCHO

--------------------------------------------------

Trên phía trên VnDoc tiếp tục trình làng cho tới độc giả tài liệu: Công thức Nhị thức Newton lênh láng đủ. Bài ghi chép mang đến tất cả chúng ta thấy được những công thức Nhị thức Newton cơ phiên bản và nâng lên, kèm cặp Từ đó là những bài xích tập luyện áp dụng giúp đỡ bạn gọi rất có thể tập luyện được công thức.... Hi vọng qua loa nội dung bài viết này độc giả đạt thêm nhiều tư liệu nhằm tiếp thu kiến thức đảm bảo chất lượng rộng lớn môn Toán lớp 11 nhé. Mời độc giả nằm trong xem thêm tăng mục Giải bài xích tập luyện Toán 11

Mời độc giả xem thêm tăng một số trong những tài liệu:

  • Hàm số liên tiếp lớp 11
  • Xét hàm số liên tiếp bên trên một điểm
  • Xét hàm số liên tiếp bên trên một tập
  • Xác quyết định thông số nhằm hàm số liên tục
  • Bảng công thức lượng giác người sử dụng mang đến lớp 10 - 11 - 12
  • Tóm tắt toàn cỗ lý thuyết và công thức Hình học tập 11
  • Trắc nghiệm Toán lớp 11 bám theo từng chương