Đề cương ôn tập HK1 Toán 7 Kết nối tri thức có đáp án

A. NỘI DUNG ÔN TẬP

Đại số

1. Số hữu tỉ

- Cộng, trừ, nhân, phân chia số hữu tỉ

- Lũy quá của một vài hữu tỉ

Bạn đang xem: Đề cương ôn tập HK1 Toán 7 Kết nối tri thức có đáp án

2. Số thực

- Số vô tỉ - Căn bậc nhị số học

- Số thực

Hình học

1. Góc và đường thẳng liền mạch tuy vậy song

- Góc ở địa điểm quan trọng đặc biệt - Tia phân giác của một góc

- Hai đường thẳng liền mạch tuy vậy song

2. Tam giác vì chưng nhau

- Tổng những góc vô một tam giác

- Hai tam giác vì chưng nhau

- Các tình huống cân nhau của nhị tam giác:

+ Cạnh – cạnh – cạnh

+ Cạnh – góc – cạnh

+ Góc – cạnh – góc

- Các tình huống cân nhau của nhị tam giác vuông:

+ Hai cạnh góc vuông

+ Cạnh góc vuông – góc nhọn

+ Cạnh huyền – góc nhọn

+ Cạnh huyền – cạnh góc vuông

- Tam giác cân nặng – đàng trung trực của đoạn thẳng

Thống kê

- Phân loại dữ liệu

- Các loại biểu đồ: Biểu vật quạt tròn trĩnh, biểu vật đoạn trực tiếp.

B. BÀI TẬP

Đề bài

I. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Khẳng tấp tểnh sai là:

A. \(\sqrt {25}  \in I\).

B. \(8,\left( {45} \right) \in \mathbb{Q}\).

C. \(\frac{{20}}{5} \in \mathbb{Z}\).

D. \(\sqrt 7  \in I\).

Câu 2: Kết trái ngược của phép tắc tính \(13,5.\frac{{ - 9}}{8} + 2,5.\frac{{ - 9}}{8}\) là:

A. \( - 18\).

B. \( - 15\).

C. \( - 9\).

D. \(\frac{{ - 8}}{9}\).

Câu 3: Cho \(\left| {x - 1} \right| = \frac{4}{5}\). Tổng toàn bộ những độ quý hiếm của x thỏa mãn nhu cầu là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 4: Kết trái ngược của phép tắc tính \(\left| {\frac{{ - 5}}{7}} \right|:\frac{5}{{14}}\) bằng :

A. \(0\).

B. \(\frac{{25}}{{98}}\).

C. \(2\).

D. \( - 2\).

Câu 5: Kết trái ngược của phép tắc tính \(\frac{3}{4} - 25\% {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2}\) bằng :

A. \(\frac{1}{8}\).

B. \( - \frac{1}{8}\).

C. \(0,25\).

D. \(\frac{{11}}{{16}}\).

Câu 6: Cho \(1 - {\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}\). Số những độ quý hiếm âm của x thỏa mãn nhu cầu là :

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 7: Nếu \(\sqrt x  = 4\) thì \({x^2}\) bằng :

A. 2.

B. 4.

C. 16.

D. 256.

Câu 8: Biết \({x^2} = 2\). Số những độ quý hiếm của x thỏa mãn nhu cầu là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 9: Biết \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 3} \right) \le 0\). Số độ quý hiếm nguyên vẹn dương của x thỏa mãn nhu cầu là :

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 10: Kết trái ngược của phép tắc tính 118:3 được sản xuất tròn trĩnh với chừng đúng mực 0,005 là:

A. 39,34.

B. 39,33.

C. 39,334.

D. 39,333.

Câu 11: Kết trái ngược của phép tắc tính \(\sqrt {25 - 16} \) bằng:

A. 1.

B. 3.

C. 9.

D. 81.

Câu 12: Khẳng tấp tểnh nào là tại đây đúng?

A. \(2 < \sqrt 3 \).

B. \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}}  =  - 3\).

C. \(\sqrt {4 + 9}  = \sqrt 4  + \sqrt 9 \).

D. \(7 > \sqrt {48} \).

Câu 13: “Mức chừng thông thường xuyên tập luyện thể thao buổi sáng sớm của chúng ta vô lớp (rất thông thường xuyên, thông thường xuyên, ko thông thường xuyên)”. Phương pháp tích lũy tài liệu nào là là thích hợp lí?

A. Lập bảng thắc mắc.

B. Quan sát chúng ta phía trên lớp.

C. Phỏng vấn từng các bạn.

Câu 14: Dữ liệu chiếm được sau đây nằm trong loại nào?

“Mức chừng thông thường xuyên tập luyện thể thao buổi sáng sớm của chúng ta vô lớp (rất thông thường xuyên, thông thường xuyên, ko thông thường xuyên)”.

A. Số liệu.

B. Dữ liệu ko nên là số (có thể chuẩn bị loại tự).

C. Dữ liệu ko nên là số (không thể chuẩn bị loại tự).

Câu 15: Một siêu thị buôn bán nước trái cây tiếp tục tham khảo về loại nước tuy nhiên quý khách hàng ưu chuộng và chiếm được bảng tài liệu sau:

Từ bảng tổng hợp bên trên, hãy mang lại biết:

a) Có từng nào người nhập cuộc cuộc khảo sát?

A. 12 người.

B. 20 người.

C. 37 người.

D. 47 người.

b) Loại nước nào là không nhiều người ưu thích nhất?

A. Nước cam.

B. Nước dừa.

C. Nước chanh.

D. Nước ổi.

c) Loại nước nào là được không ít nười ưu thích nhất?

A. Nước cam.

B. Nước dừa.

C. Nước chanh.

D. Nước ổi.

Câu 16: Kết trái ngược đánh giá môn Toán của học viên lớp 7A được mang lại vô bảng sau:

Từ bảng tổng hợp bên trên, hãy mang lại biết:

a) Lớp 7A sở hữu từng nào học tập sinh?

A. 40 học viên.

B. 42 học viên.

C. 43 học viên.

D. 44 học viên.

b) Số học viên đạt điểm 6 là bao nhiêu?

A. 6 học viên.

B. 12 học viên.

C. 8 học viên.

D. 5 học viên.

c) Điểm nào là được không ít học viên đạt nhất?

A. Điểm 6.

B. Điểm 7.

C. Điểm 8.

D. Điểm 9.

Câu 17: Biểu vật sau đây cho biết thêm số dân và dự đoán quy tế bào số lượng dân sinh của Trung Quốc và nén Độ cho tới năm 2050.

Đến khoảng tầm năm nào là số lượng dân sinh Trung Quốc vì chưng với số lượng dân sinh nén Độ?

A. Năm 2022 hoặc 2023.

B. Năm 2025 hoặc 2026.

C. Năm 2020.

D. Năm 2030.

Câu 18: Kết trái ngược điểm đánh giá cuối kì môn Toán của ngôi trường trung học cơ sở được biểu thị vô biểu vật hình quạt tròn trĩnh sau đây.

a) Tỉ lệ tỷ lệ học viên đạt điểm tầm đối với toàn ngôi trường là:

A. 10%.

B. 20%.

C. 30%.

D. 40%.

b) hiểu ngôi trường sở hữu 400 học viên. Số học viên đạt điểm khá là:

A. 140.

B. 180.

C. 240.

D. 280.

Câu 19: Cho hình vẽ, nên lựa chọn thành phẩm chính trong số thành phẩm sau:

a) Số đo của \(\widehat {{B_3}}\) là:

A. \({50^0}\).

B. \({100^0}\).

C. \({130^0}\).

D. \({30^0}\).

b) Hai góc bù nhau là:

A. \(\widehat {{A_3}}\) và \(\widehat {{B_3}}\).

B. \(\widehat {{A_4}}\) và \(\widehat {{B_2}}\).

C. \(\widehat {{A_3}}\) và \(\widehat {{B_4}}\).

D. \(\widehat {{A_2}}\) và \(\widehat {{B_4}}\).

Câu 20: Cho đường thẳng liền mạch mn, Oa là a là tia phân giác của góc pOn, biết \(\widehat {mOp} = {120^0}\). Số đo của góc aOn là:

A. \({40^0}\).

B. \({60^0}\).

C. \({30^0}\).

D. \({25^0}\).

Câu 21: Trong hình vẽ mặt mũi, sở hữu m // n, \(\widehat {{A_1}} = {85^0}\). Số đo góc B1 là:

A. \({85^0}\).

B. \({98^0}\).

C. \({82^0}\).

D. \({95^0}\).

Câu 22: Cho hình vẽ sau đây, biết \(BC{\rm{//}}DE;\) \(DC\) là tia phân giác của \(\widehat {BDE}\), số đo \(\widehat {EDB}\) là

 

A. \(60^\circ \).

B. \(90^\circ \).

C. \(45^\circ \).

D. \(135^\circ \).

Câu 23: Cho hình vẽ, xác định nào là sau đó là sai

 

A. \(AB{\rm{//}}CD\).

B. \(AB{\rm{//}}EF\).

C. \(CD{\rm{//}}EF\).

D. \(AB{\rm{//}}DE\).

Câu 24: Cho tấp tểnh lí: “Nếu \(Ax,\)\(By\) là nhị tia phân giác của nhị góc đồng vị vô tạo nên vì chưng một đường thẳng liền mạch hạn chế hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song thì \(Ax\) tuy vậy song với \(By\)”. Kết luận của tấp tểnh lí bên trên là

A. Nếu \(Ax,\)\(By\) là nhị tia phân giác của nhị góc đồng vị vô tạo nên vì chưng một đường thẳng liền mạch hạn chế hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy.

B. \(Ax\) tuy vậy song với \(By\).

C. \(Ax,\)\(By\) là nhị tia phân giác của nhị góc đồng vị.

D. Nếu \(Ax,\)\(By\) là nhị tia phân giác của nhị góc đồng vị tạo nên vì chưng một đường thẳng liền mạch hạn chế hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song thì \(Ax\)song tuy vậy với \(By\).

Câu 25: Cho tấp tểnh lí: “Nếu một đường thẳng liền mạch hạn chế 1 trong hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song thì nó hạn chế đường thẳng liền mạch còn lại”. Giả thiết của tấp tểnh lí là

A. Nếu một đường thẳng liền mạch hạn chế 1 trong hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy.

B. Nếu một đường thẳng liền mạch hạn chế 1 trong hai tuyến đường trực tiếp.

C. Nó hạn chế đường thẳng liền mạch còn sót lại.

D. Nếu một đường thẳng liền mạch hạn chế 1 trong hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song thì nó hạn chế đường thẳng liền mạch còn sót lại.

Câu 26: Cho những xác định sau

                 1. Hai góc đối đỉnh thì cân nhau.

                 2. Hai góc cân nhau thì đối đỉnh.

                 3. Nếu \(M\) là trung điểm của đoạn trực tiếp \(AB\) thì \(MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MB\).

                 4. Nếu \(MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MB\) thì \(M\) là trung điểm của đoạn trực tiếp \(AB\).

                 Số những xác định đúng

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 27: Cho ABC là tam giác vuông sao mang lại \(\widehat A > \widehat B > \widehat C\). Câu nào là bên dưới đó là sai?

A. \(\widehat A = {90^0}\).

B. \(\widehat B > {45^0}\).

C. \(\widehat C < {45^0}\).

D. \(\widehat B + \widehat C > \widehat A\).

Câu 28. Dạng tuyên bố không giống của “Tiên đề Ơ-clit” là:

A. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng liền mạch có duy nhất một đường thẳng liền mạch tuy vậy song với đường thẳng liền mạch tê liệt.

B. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng liền mạch sở hữu vô số đường thẳng liền mạch tuy vậy song với đường thẳng liền mạch tê liệt.

C. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng liền mạch sở hữu tối thiểu một đường thẳng liền mạch tuy vậy song với đường thẳng liền mạch tê liệt.

D. Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng liền mạch, sở hữu một đường thẳng liền mạch tuy vậy song với đường thẳng liền mạch tê liệt.

Câu 29: Cho tam giác ABC có: \(\widehat A = \widehat B + 2\widehat C\). Câu nào là bên dưới đó là đúng?

A. Tam giác ABC vuông.

B. \(\widehat B\) là góc tù.

C. \(\widehat A\) là góc nhọn.

D. \(\widehat C > {60^0}\).

Câu 30: Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) sở hữu AB = DE, BC = DF, CA = EF. Câu nào là bên dưới đó là đúng?

A. \(\Delta ABC = \Delta EDF\).

B. \(\Delta ABC = \Delta DEF\).

C. \(\Delta ABC = \Delta FED\).

D. \(\Delta ABC = \Delta EFD\).

Câu 31: Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta MNP\) sở hữu AB = MN, AC = NP, \(\widehat {CAB} = \widehat {MNP}\). Cách viết lách nào là sau đây đúng?

A. \(\Delta ABC = \Delta NMP\left( {g.c.g} \right)\).

B. \(\Delta ABC = \Delta MNP\left( {c.g.c} \right)\).

C. \(\Delta ABC = \Delta NMP\left( {c.g.c} \right)\).

D. \(\Delta ABC = \Delta MNP\left( {c.g.c} \right)\).

Câu 32: Cho \(\Delta ABC = \Delta DEF\) và \(\Delta DEF = \Delta NMP\). Câu nào là bên dưới đó là đúng?

A. \(\Delta MNP = \Delta CAB\).

B. \(\Delta MNP = \Delta ABC\).

C. \(\Delta MNP = \Delta BCA\).

D. \(\Delta MNP = \Delta BAC\).

Câu 33: Cho tam giác ABC sở hữu chu vi vì chưng 45cm và AB = 10cm. Cho \(\Delta ABC = \Delta MNP\) và NP = 15cm. Câu nào là sau đây đúng?

A. \(MP = 20cm\).

B. \(BC = 20cm\).

C. \(MN = 20cm\).

D. \(AC = 15cm\).

Câu 34: Cho tam giác ABC là tam giác cân nặng sở hữu \(\widehat B = {100^0}\). Câu nào là sau đây đúng?

A. \(AB = AC\).

B. \(\widehat A = {100^0}\).

C. \(\widehat C = {50^o}\).

D. Tam giác cân nặng bên trên đỉnh B.

Câu 35: Cho \(\Delta ABC = \Delta DEF\). Điều nào là sau đây suy đi ra tam giác ABC cân nặng bên trên đỉnh A?

A. Tam giác DEF cân nặng.

B. AB = EF.

C. \(\widehat C = \widehat E\).

D. \(\widehat B = \widehat D\).

II. Phần tự động luận

Bài 1. Tính Theo phong cách hợp lý và phải chăng (nếu sở hữu thể):

a) \(\frac{5}{{15}} + \frac{{14}}{{25}} - \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{25}}\).

b) \(\frac{5}{{20}} + 1\frac{7}{{11}} - 25\%  - \left( {\frac{{18}}{{11}} - \frac{4}{9}} \right)\).

c) \( - \frac{3}{4}.\frac{{12}}{{ - 5}}.\left( { - \frac{{25}}{6}} \right)\).

d) \(2\frac{1}{9}.\frac{2}{3} + 15\frac{8}{9}.\frac{2}{3}\).

e) \(\left( {\frac{{ - 2}}{3} + \frac{3}{{13}}} \right):\frac{7}{8} + \left( {\frac{{ - 1}}{3} + \frac{{10}}{{13}}} \right):\frac{7}{8}\).

f) \(3:{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{9}.\sqrt {36}  + 0,75\).

g) \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^7}}}{{15}} + {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2}:2\frac{2}{3} - \left| { - \frac{5}{6}} \right|\).

h) \(5:{\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{2}{{15}}.\sqrt {\frac{9}{4}}  - {\left( { - 2018} \right)^0} + 0,25\).

Bài 2. Tìm x, biết:

a) \(\frac{2}{3} + x =  - \frac{1}{{12}}\)

b) \(\frac{5}{{11}}x + 4 = 6\frac{1}{{11}}\)

c) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = \frac{{36}}{{25}}\)

d) \({\left( {3x - 1} \right)^3} =  - \frac{1}{{27}}\)

e) \(\left| {\frac{1}{2}x - \frac{3}{4}} \right| - 2 =  - \frac{3}{2}\)

f) \(\left( {\frac{{15}}{4} - 5x} \right)\left( {9{x^2} - 4} \right) = 0\)

g) \(\sqrt {x - 2}  + \frac{1}{3} = 1\) với \(x \ge 2\)

h) \({7^{2x}} + {7^{2x + 3}} = 344\)

i) \(\frac{2}{{x + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{ - 5}}{{12}}\) với \(x \ne  - 3\)

j) \(\frac{x}{3} = \frac{{12}}{x}\)

Bài 3. An tiếp tục căn vặn một vài các bạn vô ngôi trường về sinh hoạt cướp nhiều thời hạn nhất vô tuần thời điểm đầu tháng 6 vừa mới đây và chiếm được tài liệu sau (D: chuồn du ngoạn, C: đùa thể thao, H: học tập thêm thắt, L: thao tác nhà)

HDHDDCDDHDCDCCDHDHDCDDCLDCLDLDLDDLCCDDCD

a) An tiếp tục dụng cách thức tích lũy tài liệu nào: để ý, thực hiện thực nghiệm, lập bảng căn vặn hoặc phỏng vấn?

b) Dữ liệu tích lũy được nằm trong loại nào?

c) Hoàn thiện bảng tổng hợp sau vô vở.

Hoạt động

Đi du lịch

Chơi thể thao

Học thêm

Làm việc nhà

Số bạn

20

?

?

?

d) Hoàn thiện biểu vật hình quạt tròn trĩnh vô vở.

Bài 4. Minh thực hiện bài bác đánh giá trình độ chuyên môn giờ Anh bên trên mạng Internet 6 phiên và ghi lại thành phẩm (tỉ lệ số câu đúng) như sau:

a) Vẽ biểu vật đoạn trực tiếp trình diễn bảng số liệu bên trên.

b) Nhận xét sự tiến bộ cỗ của Minh sau từng phiên thực hiện bài bác.

Bài 5. Nhà ngôi trường hoạt động từng các bạn tặng một phần quà mang lại chúng ta học viên vùng lũ lụt. Biểu vật tại đây trình diễn tỉ trọng học viên lớp 7A tặng những phần quà không giống nhau.

 

a) Từ biểu vật, em hãy lập bảng tổng hợp về tỉ trọng học viên lớp 7A tặng những phần quà không giống nhau.

b) Lớp 7A sở hữu 40 học viên. Tính số học tập tinh anh tặng từng loại phần quà.

Bài 6. Cho hình vẽ 5, \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_1}} = {65^0}\). Tính \(\widehat {{B_1}}\).

Bài 7. Cho hình vẽ 6, biết a // b. Tính số đo x.

Bài 8. Cho hình vẽ 7. Tính \(\widehat {AOB}\).

Bài 9. Cho hình vẽ 8.

a) Chứng minh BE // CF.

b) Tính \(\widehat {{D_1}}\).

Bài 10. Cho \(\Delta ABC\) vuông bên trên A sở hữu \(AB > AC\). Kẻ \(AH \bot BC\) ( H nằm trong BC). Lấy điểm D nằm trong tia đối của tia HA sao mang lại \(HD = HA\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta CAH = \Delta CDH\) và tia CB là tia phân giác của \(\widehat {ACD}\).

b) Qua D kẻ một đường thẳng liền mạch tuy vậy song với AC hạn chế BC bên trên M và hạn chế AB bên trên K.

Chứng minh \(\Delta CHA = \Delta MHD\) và AD là đàng trung trực của CM.

c) Kẻ \(BN \bot AM\) ( N nằm trong tia AM). Chứng minh B, N, D trực tiếp sản phẩm.

Bài 11. Cho \(\Delta ABC\) sở hữu \(AB < AC\). Tia phân giác \(\hat A\) hạn chế cạnh BC bên trên I. Trên cạnh AC lấy điểm D sao mang lại \(AD = AB\).

a) Chứng minh rằng \(BI = ID\).

b) Tia DI hạn chế tia AB bên trên E. Chứng minh \(\Delta IBE = \Delta IDC\).

c) Chứng minh BD // EC.

d) Cho \(\widehat {ABC} = 2.\widehat {ACB}\). Chứng minh \(AB + BI = AC\).

Bài 12. Cho \(\Delta ABC\) vuông bên trên A. Gọi M là trung điểm của BC. Phân giác \(\widehat {ABC}\) hạn chế AC bên trên I. hiểu \(BI \bot AM\) bên trên H.

a) Chứng minh \(IA = IM\).

b) Tính những góc của \(\Delta BIC\).

c) Trên tia đối của tia HB lấy điểm K sao mang lại \(HK = HB\). Chứng minh rằng \(\Delta AIB = \Delta KIC\).

Bài 13*.

a) Tính GTNN của biểu thức

\(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \);

\(B = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right|\)

b) Tính GTLN của biểu thức

\(C = \frac{{5{x^2} + 12}}{{{x^2} + 2}}\);

\(D = 4 - \left| {5x - 2} \right| - \left| {3y + 12} \right|\)

Bài 14*. Cho \(A = \frac{{{{2023}^{2023}} + 1}}{{{{2023}^{2024}} + 1}};B = \frac{{{{2023}^{2022}} + 1}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\). So sánh A và B.


-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

I. Trắc nghiệm

Câu 1. A

Câu 2. A

Câu 3. C

Câu 4. C

Câu 5. D

Câu 6. B

Câu 7. D

Câu 8. C

Câu 9. C

Câu 10. B

Câu 11. B

Câu 12. D

Câu 13. A

Câu 14. B

Câu 15. a) D b) B c) C

Câu 16. a) C b) C c) B

Câu 17. B

Câu 18. a) B b) B

Câu 19. a) C b) C

Câu trăng tròn. C

Câu 21. A

Câu 22. B

Câu 23. D

Câu 24. B

Câu 25. A

Câu 26. B

Câu 27. D

Câu 28. A

Câu 29. A

Câu 30. A

Câu 31. C

Câu 32. D

Câu 33. A

Câu 34. D

Câu 35. C

II. Phần tự động luận

Bài 1. Tính Theo phong cách hợp lý và phải chăng (nếu sở hữu thể):

a) \(\frac{5}{{15}} + \frac{{14}}{{25}} - \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{25}}\).

b) \(\frac{5}{{20}} + 1\frac{7}{{11}} - 25\%  - \left( {\frac{{18}}{{11}} - \frac{4}{9}} \right)\).

c) \( - \frac{3}{4}.\frac{{12}}{{ - 5}}.\left( { - \frac{{25}}{6}} \right)\).

d) \(2\frac{1}{9}.\frac{2}{3} + 15\frac{{8}}{{9}}.\frac{2}{3}\).

e) \(\left( {\frac{{ - 2}}{3} + \frac{3}{{13}}} \right):\frac{7}{8} + \left( {\frac{{ - 1}}{3} + \frac{{10}}{{13}}} \right):\frac{7}{8}\).

f) \(3:{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{9}.\sqrt {36}  + 0,75\).

g) \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^7}}}{{15}} + {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2}:2\frac{2}{3} - \left| { - \frac{5}{6}} \right|\).

h) \(5:{\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{2}{{15}}.\sqrt {\frac{9}{4}}  - {\left( { - 2018} \right)^0} + 0,25\).

Phương pháp

- Thực hiện nay những phép tắc toán với những số hữu tỉ

- Tính lũy quá của một vài hữu tỉ

- Vận dụng kiến thức và kỹ năng độ quý hiếm vô cùng của một vài thực:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,khi\,x > 0\\ - x\,khi\,x < 0\\0\,khi\,x = 0\end{array} \right.\)

- Tính toán căn bậc nhị của một vài thực

Lời giải

a) \(\frac{5}{{15}} + \frac{{14}}{{25}} - \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{25}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{3} + \frac{{14}}{{25}} - \frac{4}{3} + \frac{{11}}{{25}}\\ = \left( {\frac{1}{3} - \frac{4}{3}} \right) + \left( {\frac{{14}}{{25}} + \frac{{11}}{{25}}} \right)\\ =  - 1 + 1\\ = 0\end{array}\)

b) \(\frac{5}{{20}} + 1\frac{7}{{11}} - 25\%  - \left( {\frac{{18}}{{11}} - \frac{4}{9}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{4} + \frac{{18}}{{11}} - \frac{1}{4} - \frac{{18}}{{11}} + \frac{4}{9}\\ = \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{{18}}{{11}} - \frac{{18}}{{11}}} \right) + \frac{4}{9}\\ = \frac{4}{9}\end{array}\)

c) \( - \frac{3}{4}.\frac{{12}}{{ - 5}}.\left( { - \frac{{25}}{6}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{ - 3.12.\left( { - 25} \right)}}{{4.\left( { - 5} \right).6}}\\ = \frac{{{{3.3.4.5}^2}}}{{4.\left( { - 5} \right).2.3}}\\ = \frac{{3.5}}{{ - 2}}\\ = \frac{{ - 15}}{2}\end{array}\)

d) \(2\frac{1}{9}.\frac{2}{3} + 15\frac{8}{9}.\frac{2}{3}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {2\frac{1}{9} + 15\frac{8}{9}} \right).\frac{2}{3}\\ = \left[ {\left( {2 + 15} \right) + \left( {\frac{1}{9} + \frac{8}{9}} \right)} \right].\frac{2}{3}\\ = \left( {17 + 1} \right).\frac{2}{3}\\ = 18.\frac{2}{3}\\ = 12\end{array}\)

e) \(\left( {\frac{{ - 2}}{3} + \frac{3}{{13}}} \right):\frac{7}{8} + \left( {\frac{{ - 1}}{3} + \frac{{10}}{{13}}} \right):\frac{7}{8}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{{ - 2}}{3} + \frac{3}{{13}} + \frac{{ - 1}}{3} + \frac{{10}}{{13}}} \right):\frac{7}{8}\\ = \left[ {\left( {\frac{{ - 2}}{3} + \frac{{ - 1}}{3}} \right) + \left( {\frac{3}{{13}} + \frac{{10}}{{13}}} \right)} \right]:\frac{7}{8}\\ = \left( { - 1 + 1} \right):\frac{7}{8}\\ = 0:\frac{7}{8}\\ = 0\end{array}\)

f) \(3:{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{9}.\sqrt {36}  + 0,75\)

\(\begin{array}{l} = 3:\frac{9}{4} + \frac{1}{9}.6 + \frac{3}{4}\\ = 3.\frac{4}{9} + \frac{6}{9} + \frac{3}{4}\\ = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4}\\ = 2 + \frac{3}{4}\\ = \frac{{11}}{4}\end{array}\)

g) \(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^7}}}{{15}} + {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^2}:2\frac{2}{3} - \left| { - \frac{5}{6}} \right|\)

Xem thêm: Khi cho kim loại Na vào dung dịch CuSO4 thì sẽ xảy ra hiện tượng

\(\begin{array}{l} = \frac{{ - 1}}{{15}} + \frac{4}{9}:\frac{8}{3} - \frac{5}{6}\\ = \frac{{ - 1}}{{15}} + \frac{4}{9}.\frac{3}{8} - \frac{5}{6}\\ = \frac{{ - 1}}{{15}} + \frac{1}{6} - \frac{5}{6}\\ = \frac{{ - 1}}{{15}} + \left( {\frac{1}{6} - \frac{5}{6}} \right)\\ = \frac{{ - 1}}{{15}} - \frac{2}{3}\\ = \frac{{ - 11}}{{15}}\end{array}\)

h) \(5:{\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{2}{{15}}.\sqrt {\frac{9}{4}}  - {\left( { - 2018} \right)^0} + 0,25\)

\(\begin{array}{l} = 5:\frac{{25}}{4} + \frac{2}{{15}}.\frac{3}{2} - 1 + \frac{1}{4}\\ = 5.\frac{4}{{25}} + \frac{1}{5} - 1 + \frac{1}{4}\\ = \frac{4}{5} + \frac{1}{5} - 1 + \frac{1}{4}\\ = 1 - 1 + \frac{1}{4}\\ = \frac{1}{4}\end{array}\)

Bài 2. Tìm x, biết:

a) \(\frac{2}{3} + x =  - \frac{1}{{12}}\)

b) \(\frac{5}{{11}}x + 4 = 6\frac{1}{{11}}\)

c) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = \frac{{36}}{{25}}\)

d) \({\left( {3x - 1} \right)^3} =  - \frac{1}{{27}}\)

e) \(\left| {\frac{1}{2}x - \frac{3}{4}} \right| - 2 =  - \frac{3}{2}\)

f) \(\left( {\frac{{15}}{4} - 5x} \right)\left( {9{x^2} - 4} \right) = 0\)

g) \(\sqrt {x - 2}  + \frac{1}{3} = 1\) với \(x \ge 2\)

h) \({7^{2x}} + {7^{2x + 3}} = 344\)

i) \(\frac{2}{{x + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{ - 5}}{{12}}\) với \(x \ne  - 3\)

j) \(\frac{x}{3} = \frac{{12}}{x}\)

Phương pháp

- Sử dụng kiến thức và kỹ năng gửi vế, đo lường với số hữu tỉ

- Vận dụng kiến thức và kỹ năng độ quý hiếm vô cùng của một vài thực:

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,khi\,x > 0\\ - x\,khi\,x < 0\\0\,khi\,x = 0\end{array} \right.\)

- Vận dụng kiến thức và kỹ năng căn bậc nhị của một vài thực

Lời giải

a) \(\frac{2}{3} + x =  - \frac{1}{{12}}\)

\(\begin{array}{l}x =  - \frac{1}{{12}} - \frac{2}{3}\\x = \frac{{ - 3}}{4}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 3}}{4}\).

b) \(\frac{5}{{11}}x + 4 = 6\frac{1}{{11}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{5}{{11}}x = 6\frac{1}{{11}} - 4\\\frac{5}{{11}}x = 2\frac{1}{{11}}\\\frac{5}{{11}}x = \frac{{23}}{{11}}\\x = \frac{{23}}{{11}}:\frac{5}{{11}}\\x = \frac{{23}}{5}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{23}}{5}\).

c) \({\left( {2x + 1} \right)^2} = \frac{{36}}{{25}}\)

\({\left( {2x + 1} \right)^2} = {\left( { \pm \frac{6}{5}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow 2x + 1 = \frac{6}{5}\) hoặc \(2x + 1 =  - \frac{6}{5}\)

TH1: \(2x + 1 = \frac{6}{5}\)

\(\begin{array}{l}2x = \frac{6}{5} - 1\\2x = \frac{1}{5}\\x = \frac{1}{5}:2\\x = \frac{1}{{10}}\end{array}\)

TH2: \(2x + 1 =  - \frac{6}{5}\)

\(\begin{array}{l}2x + 1 =  - \frac{6}{5}\\2x =  - \frac{6}{5} - 1\\2x =  - \frac{{11}}{5}\\x =  - \frac{{11}}{5}:2\\x =  - \frac{{11}}{{10}}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ {\frac{1}{{10}}; - \frac{{11}}{{10}}} \right\}\).

d) \({\left( {3x - 1} \right)^3} =  - \frac{1}{{27}}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {3x - 1} \right)^3} =  - \frac{1}{{27}}\\{\left( {3x - 1} \right)^3} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3}\\3x - 1 =  - \frac{1}{3}\\3x =  - \frac{1}{3} + 1\\3x = \frac{2}{3}\\x = \frac{2}{9}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{2}{9}\).

e) \(\left| {\frac{1}{2}x - \frac{3}{4}} \right| - 2 =  - \frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l}\left| {\frac{1}{2}x - \frac{3}{4}} \right| - 2 =  - \frac{3}{2}\\\left| {\frac{1}{2}x - \frac{3}{4}} \right| =  - \frac{3}{2} + 2\\\left| {\frac{1}{2}x - \frac{3}{4}} \right| = \frac{1}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\) hoặc \(\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} =  - \frac{1}{2}\)

TH1: \(\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}x = \frac{1}{2} + \frac{3}{4}\\\frac{1}{2}x = \frac{5}{4}\\x = \frac{5}{4}:\frac{1}{2}\\x = \frac{5}{2}\end{array}\)

TH2: \(\frac{1}{2}x - \frac{3}{4} =  - \frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}x =  - \frac{1}{2} + \frac{3}{4}\\\frac{1}{2}x = \frac{1}{4}\\x = \frac{1}{4}:\frac{1}{2}\\x = \frac{1}{2}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right\}\).

f) \(\left( {\frac{{15}}{4} - 5x} \right)\left( {9{x^2} - 4} \right) = 0\)

\(\frac{{15}}{4} - 5x = 0\) hoặc \(9{x^2} - 4 = 0\)

TH1: \(\frac{{15}}{4} - 5x = 0\)

\(\begin{array}{l}5x = \frac{{15}}{4}\\x = \frac{3}{4}\end{array}\)

TH2: \(9{x^2} - 4 = 0\)

\(\begin{array}{l}9{x^2} = 4\\{x^2} = \frac{4}{9}\\x =  \pm \frac{2}{3}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ { \pm \frac{2}{3};\frac{3}{4}} \right\}\).

g) \(\sqrt {x - 2}  + \frac{1}{3} = 1\) với \(x \ge 2\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  = \frac{2}{3}\\x - 2 = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\\x - 2 = \frac{4}{9}\\x = \frac{{22}}{9}\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{22}}{9}\).

h) \({7^{2x}} + {7^{2x + 3}} = 344\)

\(\begin{array}{l}{7^{2x}} + {7^{2x}}{.7^3} = 344\\{7^{2x}} + {343.7^{2x}} = 344\\{7^{2x}}\left( {1 + 343} \right) = 344\\{7^{2x}}.344 = 344\\{7^{2x}} = 1\\{7^{2x}} = {7^0}\\2x = 0\\x = 0\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0\).

i) \(\frac{2}{{x + 3}} - \frac{1}{3} = \frac{{ - 5}}{{12}}\) với \(x \ne  - 3\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2.12}}{{\left( {x + 3} \right).12}} - \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{3.4\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 5\left( {x + 3} \right)}}{{12\left( {x + 3} \right)}}\\\frac{{24 - 4\left( {x + 3} \right)}}{{12\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 5\left( {x + 3} \right)}}{{12\left( {x + 3} \right)}}\\ \Rightarrow 24 - 4x - 12 =  - 5x - 15\\ - 4x + 5x =  - 15 + 12 - 24\\x =  - 27\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 27\).

j) \(\frac{x}{3} = \frac{{12}}{x}\) (điều kiện: \(x \ne 0\))

\(\begin{array}{l}\frac{x}{3} - \frac{{12}}{x} = 0\\\frac{{{x^2} - 12.3}}{{3x}} = 0\\\frac{{{x^2} - 36}}{{3x}} = 0\\ \Rightarrow {x^2} - 36 = 0\\{x^2} = 36\end{array}\)

\(x = 6\) hoặc \(x =  - 6\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ { \pm 6} \right\}\).

Bài 3. An tiếp tục căn vặn một vài các bạn vô ngôi trường về sinh hoạt cướp nhiều thời hạn nhất vô tuần thời điểm đầu tháng 6 vừa mới đây và chiếm được tài liệu sau (D: chuồn du ngoạn, C: đùa thể thao, H: học tập thêm thắt, L: thao tác nhà)

HDHDDCDDHDCDCCDHDHDCDDCLDCLDLDLDDLCCDDCD

a) An tiếp tục dụng cách thức tích lũy tài liệu nào: để ý, thực hiện thực nghiệm, lập bảng căn vặn hoặc phỏng vấn?

b) Dữ liệu tích lũy được nằm trong loại nào?

c) Hoàn thiện bảng tổng hợp sau vô vở.

Hoạt động

Đi du lịch

Chơi thể thao

Học thêm

Làm việc nhà

Số bạn

20

?

?

?

d) Hoàn thiện biểu vật hình quạt tròn trĩnh vô vở.

Phương pháp

Đọc sản phẩm tài liệu nhằm vấn đáp thắc mắc.

Lời giải

a) An tiếp tục người sử dụng cách thức phỏng vấn nhằm tích lũy tài liệu.

b) Dữ liệu chiếm được là tài liệu ko là số, ko thể chuẩn bị trật tự.

c) Trong sản phẩm tài liệu sở hữu 10 vần âm C tức là sở hữu 10 các bạn để nhiều thời hạn đùa thể thao. Tương tự động, sở hữu 5 vần âm H, 5 vần âm L, trăng tròn vần âm D.

Ta sở hữu bảng thống kê:

Hoạt động

Đi du lịch

Chơi thể thao

Học thêm

Làm việc nhà

Số bạn

20

10

5

5

d) Biểu vật trả thiện:

 

Bài 4. Minh thực hiện bài bác đánh giá trình độ chuyên môn giờ Anh bên trên mạng Internet 6 phiên và ghi lại thành phẩm (tỉ lệ số câu đúng) như sau:

a) Vẽ biểu vật đoạn trực tiếp trình diễn bảng số liệu bên trên.

b) Nhận xét sự tiến bộ cỗ của Minh sau từng phiên thực hiện bài bác.

Phương pháp

Biểu vật tăng trưởng biểu thị thành phẩm tăng dần dần theo đuổi thời hạn.

Lời giải

a)

b) Minh sở hữu sự tiến bộ cỗ sau từng phiên thực hiện bài

Từ phiên đánh giá loại nhất cho tới phiên đánh giá loại nhị, Minh sở hữu sự tiến bộ cỗ tối đa.

Bài 5. Nhà ngôi trường hoạt động từng các bạn tặng một phần quà mang lại chúng ta học viên vùng lũ lụt. Biểu vật tại đây trình diễn tỉ trọng học viên lớp 7A tặng những phần quà không giống nhau.

 

a) Từ biểu vật, em hãy lập bảng tổng hợp về tỉ trọng học viên lớp 7A tặng những phần quà không giống nhau.

b) Lớp 7A sở hữu 40 học viên. Tính số học tập tinh anh tặng từng loại phần quà.

Phương pháp

a) Quan sát biểu vật nhằm lập bảng tổng hợp.

b) Tính m% của a, tao tính \(\frac{m}{{100}}.a\)

Lời giải

a) Ta sở hữu bảng tổng hợp về tỉ trọng học viên lớp 7A tặng những phần quà không giống nhau như sau:

Loại đá quý tặng

Đồ người sử dụng học tập tập

Quần áo

Đồ chơi

Tỉ lệ (%)

50

20

30

b) Số học viên tặng vật dụng học hành là:

\(\frac{{50}}{{100}}.40 = 20\) (học sinh)

Số học viên tặng ăn mặc quần áo là:

\(\frac{{20}}{{100}}.40 = 8\) (học sinh)

Số học viên tặng vật đùa là:

\(\frac{{30}}{{100}}.40 = 12\) (học sinh)

Vậy sở hữu trăng tròn học viên tặng đá quý tặng là vật dụng học hành, 8 học viên tặng đá quý tặng là ăn mặc quần áo, 12 học viên tặng đá quý tặng là vật đùa.

Bài 6. Cho hình vẽ 5, \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_1}} = {65^0}\). Tính \(\widehat {{B_1}}\).

 

Phương pháp

Sử dụng tín hiệu nhận thấy hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy.

Tính hóa học của hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy.

Lời giải

Ta có: \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{N_1}} = {65^0}\).

Mà nhị góc này ở địa điểm ví le vô nên AM // BN.

\( \Rightarrow \widehat {MAB} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc đồng vị)

\(\widehat {MAB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {{B_1}} = {90^0}\).

Bài 7. Cho hình vẽ 6, biết a // b. Tính số đo x.

 

Phương pháp

Kẻ đường thẳng liền mạch trải qua G tuy vậy song với a và b.

Sử dụng đặc thù của hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy, nhị góc kề bù.

Lời giải

 

Kẻ đường thẳng liền mạch m trải qua G và tuy vậy song với a và b.

Khi tê liệt \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{G_1}} = {42^0}\) (hai góc ví le trong)

Ta sở hữu \(\widehat {{F_1}}\) và \(\widehat {{F_2}}\) là nhị góc kề bù \( \Rightarrow \widehat {{F_1}} + \widehat {{F_2}} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {{F_2}} = {180^0} - \widehat {{F_1}} = {180^0} - {138^0} = {42^0}\)

Vì m // b nên \(\widehat {{G_2}} = \widehat {{F_2}} = {42^0}\) (hai góc ví le trong)

Mà x = \(\widehat {{G_1}} + \widehat {{G_2}}\)

\( \Rightarrow \widehat {{G_1}} + \widehat {{G_2}} = {42^0} + {42^0} = {84^0}\)

Vậy \(x = {84^0}\).

Bài 8. Cho hình vẽ 7. Tính \(\widehat {AOB}\).

 

Phương pháp

- Sử dụng tín hiệu nhận thấy hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy.

- Kẻ đường thẳng liền mạch trải qua O tuy vậy song với AM.

- Sử dụng đặc thù của hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy, nhị góc kề bù.

Lời giải

Ta có: \(\widehat M = \widehat N = {90^0}\) (hai góc đồng vị) nên AM // BN.

Qua O kẻ đường thẳng liền mạch m tuy vậy song với AM và BN, khi đó:

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{O_4}} = {125^0};\widehat {{B_1}} = \widehat {{O_2}}\) (các cặp góc ví le trong)

Mà \(\widehat {{O_1}}\) và \(\widehat {{O_4}}\) là nhị góc kề bù nên \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_4}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{O_1}} = {55^0}\);

\(\widehat {{O_2}}\) và \(\widehat {{O_3}}\) là nhị góc kề bù nên \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_3}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {{O_2}} = {40^0}\).

Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = {55^0} + {40^0} = {95^0}\).

Vậy \(\widehat {AOB} = {95^0}\).

Bài 9. Cho hình vẽ 8.

a) Chứng minh BE // CF.

b) Tính \(\widehat {{D_1}}\).

Phương pháp

a) Sử dụng tín hiệu nhận thấy hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy, nhị góc kề bù.

b) Sử dụng đặc thù của hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy, nhị góc đối đỉnh.

Lời giải

a) Ta sở hữu \(\widehat {{F_1}} + \widehat {{F_2}} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{F_2}} = {180^0} - {65^0} = {115^0}\).

Ta thấy: \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{F_2}} = {115^0}\)

Mà \(\widehat {{E_1}}\) và \(\widehat {{F_2}}\) là nhị góc ở địa điểm đồng vị nên BE // CF (đpcm)

b) Ta có: \(\widehat A = \widehat B = {90^0}\). Mà \(\widehat A\) và \(\widehat B\) ở địa điểm đồng vị nên AD // BE.

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{E_2}}\) (hai góc đồng vị).

Mà \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{E_1}} = {115^0}\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = {115^0}\).

Vậy \(\widehat {{D_1}} = {115^0}\).

Bài 10. Cho \(\Delta ABC\) vuông bên trên A sở hữu \(AB > AC\). Kẻ \(AH \bot BC\) ( H nằm trong BC). Lấy điểm D nằm trong tia đối của tia HA sao mang lại \(HD = HA\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta CAH = \Delta CDH\) và tia CB là tia phân giác của \(\widehat {ACD}\).

b) Qua D kẻ một đường thẳng liền mạch tuy vậy song với AC hạn chế BC bên trên M và hạn chế AB bên trên K.

Chứng minh \(\Delta CHA = \Delta MHD\) và AD là đàng trung trực của CM.

c) Kẻ \(BN \bot AM\) ( N nằm trong tia AM). Chứng minh B, N, D trực tiếp sản phẩm.

Phương pháp

a) Chứng minh \(\Delta CAH = \Delta CDH\) theo đuổi tình huống nhị cạnh góc vuông, suy đi ra cặp góc ứng cân nhau suy đi ra tia CB là tia phân giác của \(\widehat {ACD}\).

b) Dựa vô đặc thù hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy tuy vậy.

Chứng minh \(\Delta CHA = \Delta MHD\) theo đuổi tình huống góc – cạnh – góc.

Chứng minh AD là đàng trung trực: chứng tỏ \(AD \bot MC\) và \(MH = HC\).

c) Chứng minh \(CD \bot BD,AM//CD \Rightarrow BN \equiv BD\) nên B, N, D trực tiếp sản phẩm.

Lời giải

a) Xét tam giác \(\Delta CAH\) và \(\Delta CDH\) có:

HA = HD (gt)

\(\widehat {AHC} = \widehat {DHC} = {90^0}\)

HC chung

\( \Rightarrow \Delta CAH = \Delta CDH\) (hai cạnh góc vuông) (đpcm)

\( \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {DCH}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow CH\) là đàng phân giác của \(\widehat {ACD}\) hoặc tia CB là tia phân giác của \(\widehat {ACD}\) (đpcm)

b) Vì DM // AC nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc ví le trong)

Xét \(\Delta CHA\) và \(\Delta MHD\) có:

\(\widehat {{A_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)

AH = HD (gt)

\(\widehat {AHC} = \widehat {DHM}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta CHA = \Delta MHD\) (g.c.g) (đpcm)

\( \Rightarrow CH = HM\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(AD \bot MC\) (gt)

\( \Rightarrow \) AD là đàng trung trực của CM (đpcm)

c) Vì \(\Delta CAH = \Delta CDH\) nên AC = CD (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DBC\) có:

AC = CD (cmt)

\(\widehat {ACB} = \widehat {DCB}\) (BC là tia phân giác của góc ACD)

BC chung

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta DBC\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BDC} = {90^0}\) (hai góc ứng và \(\widehat {BAC} = {90^0}\)) hoặc \(CD \bot BD\). (1)

Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta DHC\) có:

AH = HD (gt)

\(\widehat {AHM} = \widehat {DHC} = ({90^0})\) (hai góc đối đỉnh)

MH = HC (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AHM = \Delta DHC\) (hai cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{C_1}}\) (hai góc tương ứng). Mà nhị góc này ở địa điểm ví le trong

\( \Rightarrow AM//CD\) (2)

Từ (1) và (2) suy đi ra \(AM \bot BD\).

Mà \(AM \bot BN\) (gt) \( \Rightarrow BN \equiv BD\) hoặc B, N, D trực tiếp sản phẩm. (đpcm)

Bài 11. Cho \(\Delta ABC\) sở hữu \(AB < AC\). Tia phân giác \(\hat A\) hạn chế cạnh BC bên trên I. Trên cạnh AC lấy điểm D sao mang lại \(AD = AB\).

a) Chứng minh rằng \(BI = ID\).

b) Tia DI hạn chế tia AB bên trên E. Chứng minh \(\Delta IBE = \Delta IDC\).

c) Chứng minh BD // EC.

d) Cho \(\widehat {ABC} = 2.\widehat {ACB}\). Chứng minh \(AB + BI = AC\).

Phương pháp

a) Chứng minh \(\Delta ABI = \Delta ADI\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow BI = ID\) (hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh \(\Delta IBE = \Delta IDC\) (g.c.g)

c) Chứng minh tam giác IEC và tam giác IBD cân nặng suy đi ra những góc cân nhau.

Chứng minh nhị góc ví le vô \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}}\) suy đi ra BD // EC.

d) Dựa vô tấp tểnh lí tổng tía góc vô tam giác, nhị góc kề bù nhằm chứng tỏ tam giác DCI cân nặng bên trên I. Chứng minh \(AD = AB,DC = BI\) suy đi ra \(AB + BI = AC\)

Lời giải

a) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ADI\) có:

AB = AD (gt)

\(\widehat {BAI} = \widehat {DAI}\) (AI là tia phân giác của \(\widehat A\))

AI chung

\( \Rightarrow \Delta ABI = \Delta ADI\) (c.g.c)

\( \Rightarrow BI = ID\) (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Vì \(\Delta ABI = \Delta ADI\) nên \(\widehat {ABI} = \widehat {ADI}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) (hai góc kề bù của \(\widehat {ABI}\) và \(\widehat {ADI}\))

Xét \(\Delta IBE\) và \(\Delta IDC\) có:

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt)

BI = ID (cmt)

\(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}}\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta IBE = \Delta IDC\) (g.c.g) (đpcm)

c) Ta có: \(\Delta IBE = \Delta IDC \Rightarrow IE = IC\) nên tam giác IEC cân nặng bên trên I \( \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{C_1}} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {EIC}}}{2}\).

Ta có: IB = ID nên tam giác IBD cân nặng bên trên I \( \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{D_2}} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {BID}}}{2}\).

Mà \(\widehat {BID} = \widehat {EIC}\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}}\). Mà nhị góc này ở địa điểm ví le vô \( \Rightarrow BD//EC\) (đpcm)

d) Ta có: \(\widehat {ABI} = \widehat {ADI}\) (cmt), tuy nhiên \(\widehat {ADI} + \widehat {{D_1}} = {180^0}\) (hai góc kề bù)

\( \Rightarrow \widehat {ABI} + \widehat {{D_1}} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {DCI} + \widehat {{D_1}} = {180^0}\) (vì \(\widehat {ABI} = \widehat {ABC},\widehat {DCI} = \widehat {ACB},\widehat {ABC} = 2.\widehat {ACB}\)) (1)

Xét \(\Delta DCI\) có:

\(\widehat {{D_1}} + \widehat {DCI} + \widehat {{I_2}} = {180^0}\) (định lí tổng 3 góc vô tam giác) (2)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\widehat {DCI} = \widehat {DCI} + \widehat {{I_2}}\\ \Rightarrow \widehat {DCI} = \widehat {{I_2}}\end{array}\)

Suy đi ra tam giác DCI cân nặng bên trên D \( \Rightarrow DI = DC\).

Mà \(BI = DI(cmt) \Rightarrow BI = DC\)

\( \Rightarrow AC = AD + DC = AB + BI\) (vì \(AD = AB,DC = BI\)) (đpcm)

Bài 12. Cho \(\Delta ABC\) vuông bên trên A. Gọi M là trung điểm của BC. Phân giác \(\widehat {ABC}\) hạn chế AC bên trên I. hiểu \(BI \bot AM\) bên trên H.

a) Chứng minh \(IA = IM\).

b) Tính những góc của \(\Delta BIC\).

c) Trên tia đối của tia HB lấy điểm K sao mang lại \(HK = HB\). Chứng minh rằng \(\Delta AIB = \Delta KIC\).

Phương pháp

a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta MBH\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AH = HM\)

Chứng minh \(\Delta AHI = \Delta MHI\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow IA = IM\)

b) Chứng minh tam giác IBC cân nặng bên trên I.

Áp dụng tấp tểnh lí tổng tía góc vô tam giác vô tam giác ABC và IBC nhằm tính những góc của tam giác IBC.

c) Chứng minh BC // AK suy đi ra cặp góc ví le vô cân nhau.

Chứng minh tam giác AIK cân nặng bên trên I suy đi ra AI = IK

Chứng minh \(\Delta AIB = \Delta KIC\) theo đuổi tình huống cạnh – góc – cạnh.

Lời giải

a) Xét tam giác ABH và tam giác MBH có:

\(\widehat {ABH} = \widehat {MBH}\left( { = \frac{1}{2}\widehat {ABM}} \right)\)

BH chung

\(\widehat {AHB} = \widehat {MHB}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta MBH\) (g.c.g)

\( \Rightarrow AH = HM\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta MHI\) có:

AH = HM (cmt)

\(\widehat {AHI} = \widehat {MHI}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

HI chung

\( \Rightarrow \Delta AHI = \Delta MHI\) (c.g.c)

\( \Rightarrow IA = IM\) (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta MBI\) có:

AB = BM (\(\Delta ABH = \Delta MBH\))

BI chung

IA = IM (cmt)

\( \Rightarrow \Delta ABI = \Delta MBI\) (c.c.c)

\( \Rightarrow \widehat {BMI} = \widehat {BAI}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

Xét \(\Delta BMI\) và \(\Delta CMI\) có:

BM = MC (M là trung điểm của BC)

\(\widehat {BMI} = \widehat {IMC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

IM chung

\( \Rightarrow \Delta BMI = \Delta CMI\) (hai cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow BI = IC \Rightarrow \Delta BIC\) cân nặng bên trên I

\( \Rightarrow \widehat {IBM} = \widehat {MCI}\)

Mà \(\widehat {IBM} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \Rightarrow \widehat {MCI} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Xét tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\\{90^0} + 2\widehat {ACB} + \widehat {ACB} = {180^0}\\3\widehat {ACB} = {90^0}\\\widehat {ACB} = {30^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {IBC} = \widehat {BCI} = {30^0}\)

Xét tam giác BIC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {IBC} + \widehat {BCI} + \widehat {BIC} = {180^0}\\{30^0} + {30^0} + \widehat {BIC} = {180^0}\\\widehat {BIC} = {120^0}\end{array}\)

Vậy số đo những góc của tam giác BIC là \(\widehat {BIC} = {120^0};\widehat {IBC} = \widehat {BCI} = {30^0}\)

c) Xét tam giác ABH và tam giác AKH có:

BH = HK (gt)

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHK}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

AH chung

\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta AKH\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {ABH} = \widehat {AKH}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABH} = \widehat {MBH}\left( { = \frac{1}{2}\widehat {ABM}} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {AKH} = \widehat {HBM}\). Hai góc này ở địa điểm ví le vô nên BC // AK

\( \Rightarrow \widehat {CAK} = \widehat {BCA}\) (hai góc ví le trong) \( \Rightarrow \widehat {CAK} = \widehat {AKH}\) (vì \(\widehat {HBM} = \widehat {BCA}\))

\( \Rightarrow \Delta AIK\) cân nặng bên trên I \( \Rightarrow AI = IK\)

Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta KIC\) có:

AI = IK (cmt)

\(\widehat {AIB} = \widehat {KIC}\) (hai góc đối đỉnh)

BI = IC (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AIB = \Delta KIC\) (c.g.c) (đpcm)

Bài 13*.

a) Tính GTNN của biểu thức

\(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \);

\(B = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right|\)

b) Tính GTLN của biểu thức

\(C = \frac{{5{x^2} + 12}}{{{x^2} + 2}}\);

\(D = 4 - \left| {5x - 2} \right| - \left| {3y + 12} \right|\)

Phương pháp

a) * \(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \)

Xét độ quý hiếm của \({x^2} + 1\) nhằm tính độ quý hiếm của \(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \).

* \(B = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right|\)

Xét những điểm trình diễn số thực x bên trên trục số.

- Khi x ở ngoài đoạn 1 và 3

- Khi x ở trong đoạn 1 và 3

b) Biến thay đổi C, bắt nguồn từ \({x^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\) nhằm tính độ quý hiếm lớn số 1 của C.

Biến thay đổi D trở nên \(D = 4 - \left( {\left| {5x - 2} \right| + \left| {3y + 12} \right|} \right)\), tính GTNN của \(\left| {5x - 2} \right| + \left| {3y + 12} \right|\).

Lời giải

* \(A = 2 + 3\sqrt {{x^2} + 1} \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\\{x^2} + 1 \ge 1\,\forall x \in \mathbb{R}\\\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 1\,\forall x \in \mathbb{R}\\2 + 3\sqrt {{x^2} + 1}  \ge 2 + 3.1 = 5\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) hoặc \(x = 0\).

Vậy độ quý hiếm nhỏ nhất của A là 5 khi x = 0.

* \(B = \left| {x - 1} \right| + \left| {x - 3} \right|\)

Xét những điểm trình diễn số thực x bên trên trục số.

Biểu thức tiếp tục mang lại chính vì chưng tổng những khoảng cách kể từ x cho tới nhị điểm 1 và 3

- Nếu x ở ngoài đoạn thân thuộc 1 và 3 thì tổng khoảng cách bên trên to hơn khoảng cách thân thuộc 1 và 3

- Nếu x ở trong đoạn thân thuộc 1 và 3 thì tổng khoảng cách trình bày bên trên chính vì chưng khoảng cách thân thuộc 1 và 3

Vì vậy biểu thức B có mức giá trị nhỏ nhất là 2, đạt được khi  \(1 \le x \le 3\)

b) * \(C = \frac{{5{x^2} + 12}}{{{x^2} + 2}}\)

Ta có: \(C = \frac{{5{x^2} + 12}}{{{x^2} + 2}} = \frac{{5\left( {{x^2} + 1} \right) + 7}}{{{x^2} + 2}} = 5 + \frac{7}{{{x^2} + 2}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^2} \ge 0\,\forall x \in \mathbb{R}\\{x^2} + 2 \ge 2\,\forall x \in \mathbb{R}\\\frac{1}{{{x^2} + 2}} \le \frac{1}{2}\forall x \in \mathbb{R}\\\frac{7}{{{x^2} + 2}} \le \frac{7}{2}\forall x \in \mathbb{R}\\5 + \frac{7}{{{x^2} + 2}} \le 5 + \frac{7}{2} = \frac{{17}}{2}\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) hoặc \(x = 0\).

Vậy độ quý hiếm lớn số 1 của A là \(\frac{{17}}{2}\) khi x = 0.

* \(D = 4 - \left| {5x - 2} \right| - \left| {3y + 12} \right|\)

Ta có: \(D = 4 - \left| {5x - 2} \right| - \left| {3y + 12} \right| = 4 - \left( {\left| {5x - 2} \right| + \left| {3y + 12} \right|} \right)\) đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất lúc và chỉ khi \(\left| {5x - 2} \right| + \left| {3y + 12} \right|\) nhỏ nhất.

Vì \(\left| {5x - 2} \right| \ge 0\,\forall x\) nên độ quý hiếm nhỏ nhất của \(\left| {5x - 2} \right| = 0\) khi \(x = \frac{2}{5}\);

\(\left| {3y + 12} \right| \ge 0\,\forall nó \in \mathbb{R}\) nên độ quý hiếm nhỏ nhất của \(\left| {3y + 12} \right| = 0\) khi \(y =  - 4\)

Vậy độ quý hiếm lớn số 1 của D là \(D = 4 - \left( {0 + 0} \right) = 4\) khi \(x = \frac{2}{5}\), \(y =  - 4\).

Bài 14*. Cho \(A = \frac{{{{2023}^{2023}} + 1}}{{{{2023}^{2024}} + 1}};B = \frac{{{{2023}^{2022}} + 1}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\). So sánh A và B.
Phương pháp

Nhân cả nhị vế của A và B với 2023 nhằm đối chiếu.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}2023.A = \frac{{{{2023}^{2024}} + 2023}}{{{{2023}^{2024}} + 1}} = \frac{{\left( {{{2023}^{2024}} + 1} \right) + 2022}}{{{{2023}^{2024}} + 1}} = 1 + \frac{{2022}}{{{{2023}^{2024}} + 1}}\\2023.B = \frac{{{{2023}^{2023}} + 2023}}{{{{2023}^{2023}} + 1}} = \frac{{\left( {{{2023}^{2023}} + 1} \right) + 2022}}{{{{2023}^{2023}} + 1}} = 1 + \frac{{2022}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\end{array}\)

Xem thêm: CuO + CH3OH → Cu + HCHO + H2O | CuO ra Cu | CH3OH ra HCHO

Vì \({2023^{2024}} + 1 > {2023^{2023}} + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{1}{{{{2023}^{2024}} + 1}} < \frac{1}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\\ \Rightarrow \frac{{2022}}{{{{2023}^{2024}} + 1}} < \frac{{2022}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\\ \Rightarrow 1 + \frac{{2022}}{{{{2023}^{2024}} + 1}} < 1 + \frac{{2022}}{{{{2023}^{2023}} + 1}}\\ \Rightarrow A < B\end{array}\)

Vậy A < B